Когда интегралы пригодились: математики из Челябинска изучают, как с помощью дробных производных убрать вибрацию заводских станков

Студенты-математики активно сотрудничают с предприятиями

Фото: Алексей БУЛАТОВ. Перейти в Фотобанк КП

Когда мы слышим слова «производная» или «интеграл», то у многих из нас пробегает холодок по спине из-за воспоминания о сложных школьных задачках. Кажется, что это чистая абстракция, далекая от реальной жизни. Оказывается, эти теоретические концепции позволяют создавать станки с плавными и точными движениями, которые вытачивают идеальные детали, например, для авиационных двигателей. В основе этого лежит теория дробного исчисления.

О том, как формулы из высшей математики превращаются в реальные технологии, рассказала доктор физико-математических наук, заведующая кафедрой вычислительной механики и информационных технологий, профессор кафедры математического анализа ЧелГУ Марина Плеханова в программе «Такая наука» на радио «Комсомольская правда-Челябинск» (95,3 FM).

Программа «Такая наука» посвящена научным достижениям южноуральских ученых. Ведущая — доктор филологических наук, доцент Анна Таскаева.

Марина Плеханова (слева) и Анна Таскаева

Фото: Предоставлено "Комсомолке".

— Что такое дробная производная простыми словами? Если обычная производная описывает, как быстро что-то меняется, то что же описывает ее дробный собрат?

— Исаак Ньютон придумал производную как физическое понятие — так, как вы сейчас озвучили, — это скорость материальной точки. А Готфрид Лейбниц одновременно с этим придумал определение производной как угол касательной; это были производные первого и второго порядка — все те, которые мы считаем ещё со школы.

С точки зрения математики, давайте попросту так: у каждого действия есть обратное действие. У производной обратное к ней — это интеграл. Если производная — это первый порядок, то интеграл — это минус первый, потому что это обратное действие. Таким образом, возникли производные отрицательного порядка. Дальнейшее развитие теории привело к соединению понятий производной и интеграла, в результате чего возникло понятие дробной производной.

— Когда и у кого впервые возникла идея дробной производной, и почему же она не находила такого широкого практического применения долгое время?

— Вообще, о том, бывают ли производные хотя бы порядка одна вторая, задумывался ещё сам Лейбниц, который придумал производную. Но тогда никакого ответа не нашлось, и только к середине XIX века, решая задачу о таутохроне (найти форму линии, чтобы, скатываясь с любой точки, всегда в одно и то же время оказываться внизу), норвежский математик Нильс Хенрик Абель построил фактически первую дробную производную, хотя её так не называл.

Дальше был ряд работ, где каждая из этих фамилий называет свою производную: производная Римана, производная Лиувилля, производная Грюнвальда–Летникова, производная Герасимова-Капуто.

— Почему тогда дробная производная получила развитие только в наше время?

— Не было вычислительных возможностей. Особенность дробной производной (если говорить о ее физическом смысле) в том, что она обладает «памятью». То есть, если производная обычная — это мгновенная скорость, то производная дробная «помнит» сколько-то назад, в зависимости от того, как вы ее будете задавать.

Это хорошо на словах. Численно же это большая нагрузка на мощности системы. Сейчас у нас есть эти мощности, и мы можем вернуться к численным исследованиям. Вот и встал вопрос, где это можно применять.

— В своих исследованиях Вы говорите о создании более простых и эффективных систем управления для роботов и станков. Для этого вы применяете дробные производные. Как же это происходит?

— К нам в университет обратилась компания, которая планирует производство высокоточных пятиосевых станков. Сейчас в России есть только один производитель, а они хотят стать вторыми. У компании была проблема с математическими аспектами движения инструмента в этом станке. Мы начали изучение этого вопроса, пришлось вникнуть во многие инженерные вещи, но в итоге выяснилось, что помочь могут именно наши дробные производные.

Наша задача связана с вибрацией. На самом деле это огромная проблема, каким бы не был точный станок, поскольку это металлообработка, вибрации возникают по различным инженерным технологическим особенностям. С ними можно бороться разными способами, можно механическими — укрепить станок и все его части, а можно с помощью коррекции движения. То есть он начал вибрировать, а вы корректируете инструмент. Как оказалось, для этой корректировки есть очень стройная теория, в которой мы сейчас активно пытаемся разбираться, она завязывает и уравнения с дробными производными, и задачи оптимального управления.

Мы разрабатываем алгоритмы управления, в которых вместо обычных производных используются дробные — они «помнят» прошлые движения станка и поэтому гасят вибрации мягче и точнее. Это позволяет повысить качество обработки деталей без усиления конструкции самого станка. С нами также работают программисты, потому что все это еще нужно запрограммировать.

— Почему так важно побороть вибрации?

— Вибрации — главный враг точности на станке: даже микронные колебания могут испортить деталь, требующей высокой точности. Примером могут служить детали для авиационного двигателя.

В станках одна из важных частей — контроллер. Он следит за тем, чтобы инструмент двигался точно по заданной траектории. Если станок начинает вибрировать, контроллер мгновенно это замечает и подает команду приводам: «замедлись», «подстройся». Обычные контроллеры, основанные на классических производных, «видят» только текущее положение и скорость — как человек, который реагирует на ситуацию мгновенно, но не помнит, что было секунду назад.

— Как здесь помогает дробная производная?

— Дробная производная же обладает «памятью» — она учитывает всю историю движения инструмента, что позволяет предугадывать развитие колебаний. Это особенно важно при работе на пятиосевых станках, где сложная геометрия движения, а масса и жесткость системы постоянно меняются. Благодаря эффекту памяти, дробный контроллер мягко гасит вибрации, не вызывая рывков. Мы формируем умное управление, которое адаптируется к изменению условий без перенастройки. Например, при замене инструмента или переходе от черновой к чистовой обработке один и тот же закон управления остается эффективным. Это достигается за счет так называемого изодемпфирования — свойства, при котором перерегулирование почти не зависит от параметров системы.

Такой подход позволяет отказаться от дорогостоящего механического усиления конструкции станка — всё решается программно. Расчеты показывают: дробный PD-контроллер снижает амплитуду колебаний на 30–50% по сравнению с традиционными методами. При этом управляющий сигнал оказывается менее шумным (т.е. не реагирует на механические погрешности) и энергоэффективным, что продлевает ресурс приводов.

Сотрудничество с предприятиями помогло нам понять: математика здесь не абстракция, а реальный инструмент повышения качества продукции. Впереди нас ждут испытания на настоящем станке, к которому, честно говоря, подходить даже немножко и страшно, но и очень хочется увидеть свою математику в реальности.

— С какими главными сложностями сталкиваются инженеры, когда пытаются «вживить» передовые математические формулы в железо?

— Есть технические сложности. Как я уже сказала, это довольно-таки большие компьютерные мощности, которые сейчас есть. Но главная сложность, которую мы осознали, — каждая область (инженеры, математики, программисты) работает в своей стезе, и очень сложно соединиться.

Главное — услышать друг друга. Инженеры часто не верят, так как-то уже сложилось, наука — это где-то там, а они вот здесь, «на земле». На самом деле и мы тоже не очень им доверяем. В этом главная сложность, надеюсь, мы с ней справимся.

Команда математиков и физиков ЧелГУ на выставке «Инженерия будущего начинается здесь». Фото: пресс-служба ЧелГУ

— Интересна ли такая современная прикладная математика сегодняшним студентам?

— Мы сейчас налаживаем контакты с предприятиями. Я рассказываю нашим работодателям, что когда мы открыли студенческое конструкторское бюро, туда в первую очередь начали приходить математики и программисты с нашего математического факультета. Для меня было удивительно: на направлении чистой математики у меня уже пять человек умеют паять и обращаться с железом, то есть работать руками.

Ребятам очень интересно, когда ты им показываешь, как классическая математика применяется здесь и сейчас. Они перестали задавать вопросы: «А зачем это нам? Мне синус нигде в жизни не пригодится». Так уже никто не думает. Там кругом и синусы, и косинусы!

Стенд посетил губернатор Челябинской области Алексей Текслер. Фото: пресс-служба ЧелГУ

— А как вы пришли в эту область? Потому что дробные исчисления, кажется, неочевидный выбор.

— Здесь я хочу пояснить, как мы приходим к научным исследованиям. Когда студенты говорят мне: «Я хочу заниматься наукой. Скажите, куда мне двигаться?». В этот момент им кажется, что сейчас они придумают себе задачу — и часто это что-то из области фантастики — и пойдут ее решать, а ты как преподаватель пойдешь с ними плечо к плечу. Это не так.

На самом деле в каждом вузе существуют люди, которые двигают ту или иную тематику. Ты можешь посмотреть, какими темами занимается тот или иной ученый, и дальше прикрепляясь к нему, занимаешься наукой под его руководством.

Когда я пришла в Челябинский госуниверситет в 1996-м году (почти 30 лет назад) и попала на кафедру математического анализа, моим научным руководителем стал Владимир Евгеньевич Федоров. Так мы с ним математикой с тех пор и занимаемся. Тогда это были уравнения математической физики, уравнения в банаховых пространствах, — им была посвящена моя кандидатская диссертация.

В 2015 году к нам на кафедру приехал алжирский математик Амар Дебуш с тематикой дробных производных, получив рекомендацию обратиться к перспективному ученому Владимиру Фёдорову. В то время мы не были знакомы с теорией дробных производных, которая, как выяснилось, динамично развивается и имеет широкое практическое применение. Так я пришла к теории дробных производных. На данный момент в нашей научной школе защищено уже 19 диссертаций по этой теме.

К ЧИТАТЕЛЯМ

Стали свидетелем интересного события или происшествия? Сообщите об этом нашим журналистам: +7-904-934-65-77 (Telegram) или kpchel@phkp.ru.

Подпишитесь на нас: ВКонтакте, Одноклассники, Telegram, Дзен.

При использовании материалов издания ссылка на «КП-Челябинск» обязательна.